ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΗΧΩΝ:

(ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ FOURIER)

 

Η προσθετική σύνθεση είναι μια τάξη διαφόρων τεχνικών σύνθεσης ήχου που βασίζεται στην πρόσθεση βασικών κυματομορφων για τη κατασκευή πιο σύνθετων κυματομορφων. Η προσθετική σύνθεση χρησιμοποιείτε από τις πρώτες μέρες της ηλεκτρικής και ηλεκτρονικής μουσικής. Αρχικά έδωσε τη βάση για την κατασκευή του Telharmonium synthesizer το 1906 στο οποίο η πρόσθεση πολλών ηλεκτρικών tone generators παρήγαγαν των τελικό ήχο. Λίγο αργότερα  η ίδια μέθοδος χρησιμοποιήθηκε στα διάσημα όργανα Hammond που βρίσκουμε μέχρι της μέρες μας.

 

Για να αναπαραστήσουμε έναν ήχο με τη προσθετική σύνθεση (πχ ένα ήχο κιθάρας) πρέπει πρώτα να αναλύσουμε τον ήχο αυτό ως προς το περιεχόμενο των αρμονικών που περιέχει.  Μια βασική μέθοδος που χρησιμοποιείτε για να εξετάσουμε σύνθετες κυματομορφες είναι η ανάλυση Fourier όπου αναλύει το περιεχόμενο συχνοτήτων μιας περιοδικής κυματομορφης (Τις συχνότητες των αρμονικών που περιέχει).

 

Η ΒΑΣΙΚΗ ΑΡΧΗ

 

Αρχικά πρέπει να υποθέσουμε ότι ο ήχος  που θέλουμε να αναλύσουμε είναι περιοδικός Αυτό σημαίνει ότι ο ήχος  υπήρχε πάντα στο χρόνο και θα συνεχίσει να υπάρχει επαναλαμβάνοντας συνεχώς την ίδια κυματομορφη. Αυτό φυσικά δεν συμβαίνει σε πραγματικούς ήχους αλλά η ανάλυση Fourier εξακολουθεί να έχει άξια εφόσον ο ήχος επαναλαμβάνετε πάνω από μερικούς κύκλους της κυματομορφης του.

 

Κρατώντας αυτά σαν βάση, το θεώρημα του Fourier μας λέει ότι κάθε ήχος μπορεί να κατακερματιστεί σε μια ατελείωτη σειρά από στοιχεία συχνοτήτων. Αυτά τα στοιχεία είναι ημιτονοειδείς κυματομορφες (μετατοπισμένες στο χρόνο η όχι - συνημίτονα) όπου η συχνότητα τους συνδέετε άμεσα με τη βασική συχνότητα (βασική) του ήχου που αναλύουμε υπό τη μορφή απόλυτων πολλαπλάσιων (1,2,3,4,5,6 κτλ).

 

Για παράδειγμα εάν ένας ήχος έχει βασική συχνότητα 440Hz οι αρμονικές του θα βρίσκονται στις συχνότητες: 440Hz, 880Hz, 1320Hz, 1760Hz, 2200Hz κτλ

 

Γνωρίζοντας λοιπόν τη βασική συχνότητα ενός ήχου, γνωρίζουμε επίσης τις συχνότητες των αρμονικών του οι οποίες είναι βασικά ημιτονοειδείς κυματομορφες.

 

Ο Fourier χρησιμοποίησε τα ημιτονοειδή και συνημίτονα  κύματα για την ανάλυση ενός σύνθετου ήχου ακριβός επειδή αυτά τα κύματα παρουσιάζουν μερικές συγκεκριμένες ιδιότητες. Ένα συνημίτονο κύμα είναι απλά ένα ημιτονοειδή κύμα μετατοπισμένο κατά ¼ του κύκλου της κυματομορφης. Στο σχήμα 1 φαίνεται ένα ημιτονοειδή και ένα συνημίτονο κύμα μαζί.

 

σχήμα 1

 

 

Έτσι λοιπόν, εάν πάρουμε δυο οποιοδήποτε ημιτονοειδή η συνημίτονα κύματα όπου οι συχνότητες τους σχετίζονται αρμονικά, τις πολλαπλασιάσουμε και έπειτα πάρουμε το μέσο όρο, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν εάν έχουν διαφορετικές συχνότητες και θετικό εάν έχουν τις ίδιες συχνότητες. Ας κοιτάξουμε τα παρακάτω παραδείγματα:

 

Στο σχήμα 2 φαίνονται δυο ημιτονοειδή κύματα το ένα διπλάσιο από το άλλο. Στο σχήμα 3 φαίνεται το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού τους. Είναι προφανές από το σχήμα 3 ότι το άθροισμα των θετικών κορφών είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των αρνητικών κορφών κατά συνέπεια το αποτέλεσμα του μέσου όρου θα είναι μηδέν.

 

 

 

σχήμα 2

σχήμα 3

 

Στο σχήμα 4 βλέπουμε δυο κυματομορφες με την ίδια συχνότητα. Το ότι έχουν διαφορετικό μέγεθος δεν μας απασχολεί, συμβαίνει μόνο για να είναι πιο ευδιάκριτες στο σχήμα. Το σχήμα 5 μας δείχνει το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού και είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα είναι θετικό και όχι μηδέν.

 

 

σχήμα 4

σχήμα 5

 

Η άλλη βασική ιδιότητα των ημιτονοειδών και συνημίτονων κυμάτων είναι ότι εάν πάρουμε ένα ημιτονοειδή και ένα συνημίτονο κύμα  με συχνότητες που σχετίζονται αρμονικά, τα πολλαπλασιάσουμε και πάρουμε το μέσο όρο το αποτέλεσμα θα είναι πάντα μηδέν.

 

ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER

 

Γνωρίζοντας λοιπόν τις παραπάνω ιδιότητες των ημίτονων και συνημίτονων κυμάτων μπορούμε πλέον να αναλύσουμε ένα σύνθετο κύμα ως προς το περιεχόμενο των αρμονικών που περιέχει. Αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε αρμονικό ημίτονο και συνημίτονο της βασικής συχνότητας ενός σύνθετου κύματος με τη ίδια βασική συχνότητα του σύνθετου κύματος. Αν το αποτέλεσμα του μέσου όρου είναι μηδέν τότε το σύνθετο κύμα δεν περιέχει το ημίτονο η συνημίτονο και αν το αποτέλεσμα δεν είναι μηδενικό τότε το σύνθετο κύμα περιέχει το ημίτονο η συνημίτονο.

 

Ας πάρουμε σαν παράδειγμα ένα τετραγωνικό κύμα το οποίο ξέρουμε ότι περιέχει μόνο μόνες αρμονικές (1f,3f,5f κτλ). Στο σχήμα 6 βλέπουμε το τετραγωνικό κύμα μαζί με τη πρώτη αρμονική, ενώ στο σχήμα 7 βλέπουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, Όπως φαίνεται στο σχήμα 7 το αποτέλεσμα του μέσου όρου είναι θετικό όποτε το τετραγωνικό κύμα περιέχει τη πρώτη αρμονική.

 

σχήμα 6

 

σχήμα 7

 

Στο σχήμα 8 και 9 βλέπουμε το ίδιο τετραγωνικό κύμα με το πρώτα αρμονικό συνημίτονο και το πολλαπλασιασμό τους. Όπως μπορεί να φανεί στο σχήμα 9 το αποτέλεσμα του μέσου όρου θα είναι μηδέν, δηλαδή το πρώτο αρμονικό συνημίτονο δεν περιέχεται στο τετραγωνικό κύμα.

 

 

σχήμα 8

 

 

σχήμα 9

 

 

 

Εάν συνεχίζαμε το πολλαπλασιασμό με όλες τις επόμενες αρμονικές θα βλέπαμε ότι πράγματι το τετραγωνικό κύμα περιέχει μόνο μόνες ημιτονοειδή αρμονικές και καθόλου συνημίτονα κύματα. Μόνο ημίτονα χωρούν μέσα στο τετραγωνικό κύμα τα οποία εάν τα προσθέσουμε θα καταλήξουμε να παράγουμε μια τετραγωνική κυματομορφη.

 

Στο σχήμα 10 φαίνεται το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των 5 πρώτων αρμονικών με αποτέλεσμα μεγαλύτερο του μηδέν από την ανάλυση ενός τετραγωνικού κύματος. Για να έχουμε πολλή καλό αποτέλεσμα θα πρέπει φυσικά να προσθέσουμε θεωρητικά ένα ατελείωτο συρμό αρμονικών, αλλά ήδη αρχίζει να φαίνεται το αποτέλεσμα ενός τετραγωνικού κύματος. 

 

 

 

 

σχήμα 10

Στην σημερινή εποχή η ανάλυση μιας κυματομορφης ως προς το περιεχόμενο των αρμονικών που περιέχει γίνεται με ψηφιακούς αλγόριθμους διάφορων τύπων που γενικός ονομάζονται FFT (Fast Fourier Transforms). Πριν τη ψηφιακή τεχνολογία, μια βασική μέθοδος ανάλυσης ήταν το Heterodyne Analyzer. To block-diagram μιας τέτοιας συσκευής φαίνεται στο σχήμα 11 όπως επίσης οι τύποι του Πυθαγόρα που μας δίνουν την αρμονική φάση και ύψος.

 

 σχήμα 11

 

 

Το LPF στο παραπάνω σχήμα χρησιμοποιείται για να απομόνωση το μέσο όρο (0Hz) από τις υπόλοιπες συχνότητες ώστε να έχουμε ξεκάθαρο αποτέλεσμα.

 

 Δημήτρης Μπαρνιας 2004

 Diagrams by Jim Grant (City University)

 

 

 

Top^

 

 

©sonicspace.org 2005